문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 대수학의 기본정리 (문단 편집) == 개요 == {{{+1 Fundamental Theorem of Algebra, FTA}}} 상수가 아닌 복소계수 [[다항식]]은 반드시 (최소 한 개의[* 사실, 이 조건은 밑문단의 따름정리 때문에 넣든 빼든 같은 뜻이다.]) 복소수 근을 갖는다. 즉, ||[math(p\left(x\right)={\displaystyle \sum_{i=0}^{n}}a_{i}x^{i}=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0})]([math(a_{n}\ne0)], [math(n\ge 1)])에 대해 '''복소수''' [math(\alpha)]가 존재하여 [math(p\left(\alpha\right)=0)]이다. || 단, 이 [math(\alpha)]를 찾는 구체적인 방법(즉, 근의 공식)이 있다는 말은 아니다.[* 이미 5차 이상의 방정식의 일반적인(정확히는 [math(+,-,\times,\div,\sqrt[n]{\quad})]만을 '''유한하게''' 사용한) 근의 공식이 존재하지 않음을 [[닐스 헨리크 아벨]]이 증명한 바 있다. 매우 특수한 경우에 한해서는 근의 공식이 존재하지만, 일반적인 상황으로의 확장은 불가능하다. 예를 들어서 5차 방정식의 경우, 2~4차항이 아예 없는 특수한 형태의 5차 방정식에서는 근의 공식이 존재한다. 이를 브링-제라드 5차꼴(Bring-Jerrard Quintic Form)이라고 한다.[* 정확하게는 [math(z^5\pm z+a=0)]의 형태를 지닌 방정식은 근의 공식을 가지며, 모든 브링-제라드 5차 꼴은 매개변수를 이용해서 변환하는 것으로 저 꼴로 변형시킬 수 있다는게 밝혀져 있다. 구체적으로는 최고차항의 계수로 나눠 모닉다항식으로 만든 뒤, [math(x^5+ax+b=0)]의 꼴이 되면 [math(a\neq 0)]일 때 [math(\displaystyle z=\frac{x}{\sqrt[4]{-a}})]를 대입해서 정리한다. 그러면 [math(x^5+ax+b=\{\sqrt[4]{-a}z\}^5+a\{\sqrt[4]{-a}z\}+b=-a\sqrt[4]{-a}z^5+a\sqrt[4]{-a}z+b=0)]이 되고, 우변을 [math(-a\sqrt[4]{-a})]로 정리해주면 [math(\displaystyle z^5-z-\frac{b}{\sqrt[4]{-a}^5})]의 꼴로 변형할 수 있기 때문. 만약 [math(a=0)]이라면 저런 전개는 필요없이 [[1의 거듭제곱근/다섯제곱근]]을 이용하여 축약정리하면 된다.] 다만 완전히 사칙연산만으로 풀리지는 않으며, 쌍곡선 함수가 들어가는 등 제법 근의 공식이 복잡해지지만, 그래도 초등함수[* [[대수함수]]와 로그/지수함수 꼴을 합성한 함수]로 풀 수 있다는 점에서는 제법 성질이 좋은 방정식이다.] 또는 복소수체와 그것이 대수적으로 닫힌 구조(algebraic closure)가 일치한다고도 표현할 수 있다. 사전지식 없이 이 정리를 보면 매우 당연한 걸 증명하는 것 같지만, '''요점은 [[복소수]]'''다. 일차방정식에 실수 계수를 넣는다고 새로운 수체계를 확장할 필요는 전혀 없었지만, 이차방정식을 풀기 위해서는 복소수라는 새로운 수 체계를 고안해야만 했다.[* 일차방정식만 하더라도 계수에 [[0]]과 [[자연수]]만 넣어도 근으로 [[음수]]나 [[정수가 아닌 유리수]]가 나올 수 있고, 최초의 무리수로 알려져 있는 [[√2]]는 [math(x^2 = 2)]의 근에서 도출되었다. 수의 확장이 오히려 자연스러운 현상으로 보일 정도다.] 그렇다면, 어쩌면 3차, 4차, 5차, …, '''방정식의 차수가 올라 갈 때마다 이를 풀기 위해서 복소수보다 더 복잡한 수 체계를 매번 만들어내야 하지 않을까?'''라는 불안 어린 추측을 하는 것이 당연한데, 이 정리는 그럴 필요가 없다는 사실을 알려준다. 이런 측면에서 보자면 모든 [math(n)]차방정식을 풀기 위해서 이차방정식을 풀기 위해 확장했던 복소체계 외에는 새로운 확장이 불필요하다는 건 어쩌면 기적에 가까운 사실일 수도 있다.저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기